s：感谢书友幻鱼、山在海外、sgsnk、仙门剑诀、鬼在画符、木的自由源、不存在的理想人生等各位同学的推荐，感谢山在海外同学的打赏。

另外，为什么明明已经是更新了30天3000字，这传说中的成就却迟迟不见出现呢作者表示一头黑人问号，莫不是被系统吞了

最后的最后，继续求各位同学的收藏和推荐：

第0081章黎曼猜想

欧拉乘积公式的推导过程，大学课本里还是有的，但又有多少人会自己推导一遍呢

将公式直接拿来用就完事了

经过田立心连比带画地将这个公式推导了一遍，许多人都豁然开朗了。

但还有不少人根本就不知道，这个公式的意义在哪

欧拉乘积公式的意义在于，对全体质数的某些运算可以转移成对全体自然数的运算。这么一来，通过研究对自然数的求和Σnns，就有可能对质数获得更深刻的认识。

这个求和是非常重要的，所以它有一个专门的名称，黎曼函数。

这个函数明明是欧拉先提出来的，为什么会叫黎曼函数呢

田立心并没有立即给出答案，而是提出新的问题，“我们来到第二个部分，我来先问几个问题，两个自然数互质的概率是多少什么是互质n个自然数互质有没有通项公式呢”

“自然数互质，意思就是它们没有共同的质因数，它们的最大公约数是1。例如2和3互质，2和15互质，但15和21不互质，因为15和21都以3作为质因数。由此得知，任意两个不同的质数是互质的，一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的，1和任意自然数都是互质的。”田立心解释了互质的概念后，便利用欧拉乘积公式写下了两个自然数互质的数学表示方法，并一步步计算了下去。

计算的结果显示，得到n个自然数互质的概率正好等于所有自然数的倒数之和，这个数也称为调和级数也就是1s。

特别说明，这个函数中的s是大于1的。

也就是说，随着s趋于无穷大，sΣnns当中只有第一项1不受影响，后面的项都迅速地趋近于0，所以s会趋近于1。相应的，s个自然数互质的概率会趋近于100。

要是s1呢

1会等于无穷大

也就是说，调和级数是发散的

但在这个推导过程中，是包含一个前提的，就是s是一个有限值，或者说s是收敛的。

只有在这个前提之下，才能将它当成一个正常的数进行各种操作，例如乘以1f2，消去所有包含2n的项。

假如s是发散的，这样的操作就是毫无意义的，这会带来各种各样的错误结果。

被人调侃的全体自然数之和等于112，便是这样计算出来的错误之一。

那么，全体自然数之和等于112，又是怎么被人证明出来的呢

这就要说到黎曼了。

黎曼是德国著名的数学家，数学王子高斯的弟子。

黎曼在二十八岁时发表了题为论作为几何学基础的假设的演说，就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体，后来，爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具，才创立了新的引力理论广义相对论。

全体自然数之和等于112，就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。

正是在这个错误的结果的启迪之下，黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。

一，应该把s中的自变量s理解为复数，而不只是实数。

二，可以通过解析延拓，让s在s小于1的地方也获得定义。

三，通过对s的研究，可以对小于等于某个数的质数的个数，给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是s的零点的位置。

四，黎曼猜测s的零点都位于某些地方。

由此可见，黎曼在欧拉函数上的研究上，显然是比欧拉更进一步的。

他在加入解析延拓之后，使得s在s小于1的地方获得定义。

由此，欧拉函数也就升级成了黎曼函数。

解析延拓又是什么呢

解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得该函数在一些原本没有定义的地方也有了定义，而在原本有定义的地方还跟原来一样。

例如，在1，1的区间里定义了一个函数yx，它的函数图像是一条线段，从1，1连到1，1。将这条线段向两边延伸，而且可以延伸得任意远，这么一来，这个函数的定义域就从区间1，1扩展到了整个数轴。

全体自然数之和等于112的结果，正是黎曼在解析延拓的计算中得来的。

正确的表达方式应该是这样的，1112。

黎曼将黎曼函数变形之后，写出了由一个阶梯函数、两个对数积分函数和一个质数计量函数组成的等式，并将这个结果发表了名为论小于给定数值的质数个数的论文，等式左边的阶梯函数表示一个质数的n次方等于1n个质数。

这意味着，这个函数是和质数的分布是相关的。

等式另一边，其中一个是对数积分函数，其自变量取的是黎曼函数的非平凡零点。

从公式中不难看出，质数的全部信息都包含在黎曼函数的非平凡零点之中。

黎曼函数的非平凡零点的位置又在哪呢

一个非平凡零点

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